Formula del Volume della Sfera: dimostrazione con integrali tripli
Alle superiori ci insegnano che
La formula per calcolare il volume di una sfera di raggio R è:
4/3 · π · R 3
Vi siete mai chiesti come si ricava questa formula? … usando gli integrali multipli (tripli, in particolare)!
PS: non ho intenzione di trasformare questo sito in un blog di matematica; questo articolo mi serve solo come “appoggio” per descrivere, nei prossimi giorni, come ottenere degli integrali multipli con OpenOffice Math… Prendetelo come una curiosità, oppure, più semplicemente, ignoratelo! 
Nota: cliccando sopra le immagini verranno spiegati (a volte) i vari passaggi.
Un’applicazione degli integrali tripli: calcolo del volume di un solido
Si può calcolare il volume di un qualunque solido P con un integrale triplo, integrando la funzione costante di tre variabili reali
f(x,y,z) = 1
sopra il dominio (regione) rappresentato dal solido stesso, cioè 
:
Calcolo del volume della sfera con integrali tripli
Per calcolare il volume di una sfera S, possiamo considerare il dominio (regione) rappresentato da una sfera nel piano tridimensionale (spazio) x,y,z con centro nell’origine degli assi e raggio R, rappresentato cioè da tutti i punti dello spazio con distanza dall’origine minore o uguale a R.
Definizione del dominio sferico in coordinate cartesiane
Per definire il dominio P (sferico e di raggio R) in coordinate cartesiane basta quindi la seguente disequazione:
(clicca nella formula per la spiegazione)
Passaggio alle coordinate sferiche
Per semplificare i calcoli occorre fare un cambio di coordinate; essendo la regione di integrazione una sfera, col passaggio alle coordinate sferiche si semplifica al massimo l’integrale. Invece di x, y e z si considerano come variabili ρ, θ e φ, che rappresentano:
- ρ: la distanza di un punto nello spazio tridimensionale dall’origine (inteso come modulo del vettore ρ);
- θ: l’angolo formato dal vettore ρ con l’asse z positivo; [solo da 0 a pi greco]
- φ: l’angolo formato da ρ’ (la proiezione del vettore ρ sul piano xOy) con l’asse x positivo.
Integranda f(x,y,z) in coordinate sferiche
Per passare dalle coordinate cartesiane a quelle sferiche basta applicare le seguenti formule di sostituzione, nella integranda f(x,y,z):
Dominio sferico in coordinate sferiche
Occorre “trasformare” anche la definizione del dominio, che, proprio grazie alla simmetria sferica dello stesso, diventa semplicemente:
… cioè tre semplici disequazioni che un punto in coordinate sferiche, se vuole appartenere alla sfera di raggio R, deve soddisfare. 
Differenziali in coordinate sferiche: applicazione dello jacobiano
Occorre trasformare anche i differenziali, dalle coordinate cartesiane a quelle sferiche, applicando il determinante jacobiano per le coordinate sferiche:
Risoluzione dell’integrale in coordinate sferiche
Applicheremo le coordinate sferiche all’integrale che calcola il volume di un solido, sostituendo tutti i termini visti finora (cliccate sopra i vari passaggi per la spiegazione):
… Come Volevasi Dimostrare! 
Se ho detto qualche baggianata, correggetemi, non sono un matematico.
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October 7th, 2008 at 5:56 pm
Ora ti metti a fare matematica? LOL
October 7th, 2008 at 6:07 pm
@ Luca:
Nono, mi serve come “appoggio” per una guida su OpenOffice (tutte le formule che vedi le ho scritte con OpenOffice Math… e relative perdite di pazienza)
Per l’articolo “Linux-inside” bisogna aspettare il 14 Ottobre
October 7th, 2008 at 7:03 pm
Bello, ma nel titolo andrebbe scritto “volume” e non “area”!!
October 7th, 2008 at 7:25 pm
@ Cristian:
Correggo subito, ma meglio così, in questo modo il bloggatore non mi ruberà traffico con “volume”
PS: il lapsus me lo sono portato dietro anche nel post
October 7th, 2008 at 8:31 pm
Ottimo articolo, Andrea. Vedo che il lapsus è stato corretto;).
October 7th, 2008 at 9:08 pm
@ annarita:
Grazie.
Non so perché avevo in mente “volume” (anche nelle formule che ho scritto, ho usato la V) e ho scritto “area”…
October 8th, 2008 at 12:06 pm
O__O complimenti, devvaro un bell’articolo! io e la matematica abbiamo litigato da piccole, però mi è piaciuto leggerlo
October 8th, 2008 at 12:13 pm
@ italida:
Grazie! ^_^ Che ti avevo detto? Sono nerd!
PS: non usi gravatar?
October 14th, 2008 at 11:21 am
Veramente un ottimo articolo Andrea! I miei complimenti.
Ti seguo.
Ciao, Paolo.
October 14th, 2008 at 12:23 pm
@ Paolo Bee:
Grazie, e benvenuto!