Integrali tripli

Formula per calcolare il volume di un solido P

Vediamo come scrivere integrali tripli su OpenOffice, con OpenOffice Math (o Formula). Se è la prima volta che si usa OpenOffice, consiglio, prima di iniziare, la lettura dell’articolo “Equazioni e formule su OpenOffice“.

Integrale triplo: sintassi di OpenOffice Math

Per scrivere un integrale triplo si usa l’operatore iiint { integranda }:

iiint {f(x,y,z) dx dy dz }

Gli estremi di integrazione: scrivere, tra iint e la funzione integranda:

_ {estremo inferiore} ^ {estremo superiore}

Non è necessario riportare entrambi.

Esempi

Riporto, come esempio, le formule inserite nell’articolo “Dimostrazione del Volume della Sfera con integrali tripli“. Per ogni passaggio riporto sia il risultato finale (cioè l’espressione che verrà visualizzata) e il codice per ottenerla.

Definizione del dominio: simboli di appartenenza, insiemi e quantificatore universale

• Risultato finale:
• Codice:

  forall (x,y,z) in P subset setR ^3

Calcolo del volume di un solido con integrali tripli

• Risultato:
• Codice:

  V(P) = iiint _{P} {1 cdot dx dy dz}

Definizione di un dominio sferico: disequazioni e potenze, lettere greche

• Risultato (coordinate cartesiane):
• Codice:

  P = x^2 + y^2 + z^2 leslant R^2

Vediamo anche come rappresentare un dominio sferico in coordinate sferiche:

• Risultato:
• Il codice è molto simile a quello delle coordinate cartesiane, ma verranno usate le lettere greche (%+codice_lettera):

  P' = lbrace 0 leslant %rho leslant R ; 0 leslant %phi leslant 2%pi ; 0 leslant %theta leslant %pi rbrace

Passaggio alle coordinate sferiche

• Risultato:
• Codice (è un sistema, facilmente rappresentabile con OpenOffice):

left lbrace stack {

    x = %rho cdot sin %theta cdot cos %phi

    #

    y = %rho cdot sin %theta cdot sin %phi

    #

    z = %rho cdot cos %theta

} right none

Jacobiano: simbolo della derivata parziale con OpenOffice Math

• Risultato:
• Il codice è ancora una volta molto semplice: per inserire il simbolo di derivata parziale basta usare il comando partial:

dx dy dz =

{partial (x,y,z) } over {partial (%rho,%theta,%phi) } cdot d%rho d%theta d%phi

= %rho^2 cdot sin %theta cdot d%rho d%theta d%phi

Secondo passaggio dell’integrale: integrale triplo, e uguaglianza ad inizio e fine della riga

• Risultato:
• In questo passaggio metto in evidenza il simbolo di uguaglianza (”=”), inserito all’inizio e alla fine della riga. OpenOffice richiede che sia a sinistra che a destra dell’operatore sia presente un’espressione; si risolve inserendo un’espressione vuota, cioè {}

  {} = iiint _{P'} {%rho^2 cdot sin %theta cdot d%rho d%theta d%phi} = {}

Terzo passaggio dell’integrale: estremi di integrazione

• Risultato:
• Anche in questo passaggio c’è poco da aggiungere (anche perché non siamo più neanche in presenza di integrali tripli); si usa la sintassi dell’integrale semplice:

  {} = int_0^{2%pi} d%phi int_0^{%pi} sin %theta d%theta int_0^{R} {%rho^2 cdot d%rho } = {}

Ultimo passaggio dell’integrale

• Risultato:
• Il codice:

{} = [%phi] _0 ^ {2%pi} cdot

[-cos %theta] _0 ^ {%pi} cdot

left [{%rho^3} over 3 right ] _0 ^ R  = {}